Question

某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A ， B ，及 CD 的中点 P 处，已知 km, ,为了处理三家工厂

某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A ， B ，及 CD 的中点 P 处，已知 km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A ， B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO ， BO ， OP ，设排污管道的总长为 y km。（I）按下列要求写出函数关系式：①设 ，将 表示成 的函数关系式；②设 ，将 表示成 的函数关系式。（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

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Answer 1

（I）① ② （Ⅱ）选择函数模型①， P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 处。

本小题考查函数最值的应用。 （I）①由条件可知 PQ 垂直平分 AB ， ，则 故 ，又 ，所以 。 ② ，则 ，所以 ， 所以所求的函数关系式为 。 （Ⅱ）选择函数模型①。 。 令 得 ，又 ，所以 。 当 时， ， 是 的减函数； 时， ， 是 的增函数。 所以当 时 。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 处。