Question

设函数f（x）=ax3+bx（a，b为实数）．（I）设a≠0，当a+b=0时．求过点P（-1，0）且与曲线y=f（x）相切的

设函数f（x）=ax3+bx（a，b为实数）．（I）设a≠0，当a+b=0时．求过点P（-1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设b＞0，当a≤0且x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1），求b的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a≠0，a+b=0，∴b=-a，则f（x）=ax³-ax，
∴f'（x）=3ax²-a，设切点T（x₀，y₀），则f'（x₀）=k_PT，
即：切线方程为y?y0＝(3ax02?a)(x?x0)，又∵切线过点P（-1，0），
∴?(ax03?ax0)＝(3ax02?a)(?1?x0)，解得：x₀=-1或x0＝

1

2

．
当x₀=-1时，f'（x₀）=2a，切线方程为y=2ax+2a，
当x0＝

1

2

时，f′(x0)＝?

1

4

a，切线方程为y＝?

1

4

ax?

1

4

a．
（Ⅱ）  ①当a=0，b＞0时，f（x）=bx在[0，1]上递增，∴b≤1．
②当a＜0，b＞0时，令f'（x）=3ax²+b=0，得x＝±

? b 3a

，f（x）在[0，

? b 3a

]上递增，
（ i ） 若

? b 3a

≥1时，f（x）在[0，1]上递增，
∵f（0）=0，
∴

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