Question

求证：椭圆上一点到其两个焦点的距离乘积的最大值为半长轴长度的平方。

Answer 1

分享解法如下。设椭圆为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，焦点为F1、F2，P为椭圆上任意一点。P到F1、F2的距离为丨PF1丨、丨PF2丨。
应用基本不等式，有丨PF1丨²+丨PF2丨²≥2丨PF1丨*丨PF2丨。∴[丨PF1丨+丨PF2丨]²≥4丨PF1丨*丨PF2丨。
由椭圆定义，有丨PF1丨+丨PF2丨=2a。∴丨PF1丨*丨PF2丨≤(1/4)(2a)²=a²。