Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，且交AC于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC+GC=5，求直径AD的值．

Answer 1

解：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；

（2）过E作EF⊥AB于点F，连接EG，
在△ACE和△AFE中，

∠2＝∠1 ∠C＝∠AFE＝90° AE＝AE

，
∴△ACE≌△AFE（AAS），
∴AC=AF，CE=FE，
∵∠AED=90°，
∴AD是⊙O的直径，又点D在⊙O上，
∴四边形AGED是圆内接四边形，
又∠CGE为圆内接四边形AGED的外角，
∴∠CGE=∠EDA，
在△CEG和△FED中，

∠CGE＝∠EDA ∠C＝∠EFD＝90° CE＝FE

，
∴△CEG≌△FED（AAS），
∴CG=FD，又AC+CG=5，
则AD=AF+FD=AC+CG=5．