Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）

已知二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，
∴

f′(1)＝2a+b＝0 f′(0)＝b＝?2

，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3．
（2）∵f（x）=x²-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x1＝

1

3

，x₂=1．

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值 4 27	↓	极小值0	↑

所以函数g（x）的单调递增区间为（-∞，

1

3

），（1，+∞）．在x₂=1有极小值为0．
在x1＝

1

3

有极大值

4

27

．
（3）∵g（0）=0，g（2）=2，
∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．