Question

（2014?黄岛区模拟）已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，直线PM从点C出发沿CB方向

（2014?黄岛区模拟）已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，直线PM交BC于P，交AC于点M；过点P作PQ⊥AB，交AB于Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，QM∥BC？（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），试求出y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：设∠BAD=∠CAD=a，sina=(12/2)/10=3/5; Q的初始状态位于BQ=BCsina=12*3/5=36/5;
1)当MC=BQ时，QM∥BC；BQ=(12-t)sina,MC=t/sina; (12-t)*(3/5)^2=t; t=12*(3/5)^2/[1+(3/5)^2]=12*9/(25+9)=54/17=3右3/17（秒）时，QM∥BC。
2）y=Sadc-Spmc-Spnd=(1/2)[6*10cosa-t^2cota-(6-t)^2tana]
=(1/2)[6*10*4/5-4t^2/3-(36-12t+t^2)*3/4]=(1/2)(21-25t^2/12+9t)=-(25/24)t^2+(9/2)t+21/2。
3）当t=-2*(-25/24)*(9/2)=9*25/24=9又3/8>6; M已经超出了其区域。从△PMC和△PND看：(6-t)^2tana+t^2cota=(3/4) (36-12t+t^2)+(4/3)t^2=27-9t+(25/12)t^2
=(25/12)[t^2-2(6*9/25)t+27*12/25}=(25/12)[(t-54/25)^2-81*4(9/25^2-1/25) ]
=25/12[(t-54/25)^2+81*64/625]; 在t=54/25=2又4/25秒时，有极小值27*16/25=432/25；
因此：当t=2又4/25秒时，ymax=(1/2)(6*10*4/5-432/25)=(1200-432)/50=15.36(cm^2)。
4）当QN=PN时，即PQ=2PN时，（12-t)cosa=2(6-t)/cosa; (12-t)*(4/5)^2/2-6+t=0;
8*12-8t-25*6+25t=17t-54=0; t=54/17(s)=3又3/7秒时，点M在线段PQ的垂直平分线上。

Answer 2

（1）因为QM∥BC，
∴△BQP∽△QPM，
∴QP²=BP?QM，∠B=∠QPM，
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，
∴CD=BD=6cm，=8cm，sinB＝

QP

BP

＝

QM

QP

＝

8

10

＝

4

5

，
又∵CP=t，
∴BP=12-t，
∴QP=

48?4t

5

，QM=

192?16t

25

，
∴(

48?4t

5

)2＝(12?t)(

192?16t

25

)，
解得：t=

54

17

．

（2）∵△PND∽△BQP∽△ABD，
∴

BD

AD

＝

DN

PD

，
即：

6

8

＝

DN

6?t

，
∴DN=

18?3t

4

，
同理，PM=

4t

3

，
所以y=

1

2

×6×8?

1

2

(6?t)?

18?3t

4

?

1

2

t?

4

3

t=?

25

24

t2+

9

2

t+

21

2

（3）由y＝?

25

24

t2+

9

2

t+

21

2

＝?

25

24

(x?

54

25

)2+

384

25

，
所以当t=

54

25

时存在最大值．

（4）若点M在线段PQ的垂直平分线上，
则有MQ=MP，
由（1）（2）知道，QM=

192?16t

25

，PM=

4t

3

，
所以

192?16t

25

＝

4t

3

，
解得：t=4．