Question

如图，在底面ABCD是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（1）

如图，在底面ABCD是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积． （2）证明：EF⊥面PAB．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB
在Rt△PAB中，AP=AB，BP=2，
得AP=AB=

2

又PA为四棱锥P-ABCD的高
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×2×

2

×2=

4 2

3

证明：（2）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC
又∵底面ABCD是矩形
∴BC⊥AB
又∵AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB
∴BC⊥平面PAB
又∴E，F分别是PB，PC的中点
∴EF∥BC，
∴EF⊥面PAB