Question

已知数列{an}中，an+1=2an+1，a1=1，n∈N*．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式（

已知数列{an}中，an+1=2an+1，a1=1，n∈N*．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式（2）若bn=log2(an+1)2n，且Tn=b1+b2+…+bn，求Tn．

Answer 1

（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1），
∴

an+1

an

=2，
又a₁=1，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

．