Question

已知函数f（x）= x 2 +c ax+b 为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤ 3

已知函数f（x）= x 2 +c ax+b 为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤ 3 2 的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．（1）求a，b，c的值；（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m 2 + 3 2 对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函数， ∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0． 从而f（x）= 1 a （x+ c x ）． 又∵ f(2)≥0 f(-2)≥0 ，即 f(2)≥0 -f(2)≥0 ∴f（2）=0，解之，得c=-4． 再由f（1）＜f（3），得 a＞0 c＜3 或 a＜0 c＞3 从而a＞0． 此时f（x）= 1 a （x- 4 x ） 在[2，4]上是增函数． 注意到f（2）=0，则必有f（4）= 3 2 ， ∴ 1 a （4- 4 4 ）= 3 2 ，即a=2． 综上可知，a=2，b=0，c=-4． （2）由（1），得f（x）= 1 2 （x- 4 x ）， 该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数． 又∵-3≤-2+sinθ≤-1， ∴f（-2+sinθ）的值域为 [- 5 6 ， 3 2 ] ． 符合题设的实数m应满足 3 2 -m 2 ＞ 3 2 ，即m 2 ＜0， 故符合题设的实数m不存在．