Question

已知函数f(x)=(x^2+c)/(ax+b)为奇函数,f(1)<f(3),且不等式0≤f(x)≤3/2的解集是[-2,-1]∪[2,4]。

（1）求证：f（2）=0
（2）求a，b，c的值。
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

(1)∵已知f（x）=（x²+c）/（ax+b）为奇函数
∴由f（-x）= -f（x）可得（x²+c）/（ax+b）= -（x²+c）/（-ax+b）
∴b = 0
∴f（x）=（x²+c）/ ax ①
∵f（1）＜f（3）
∴（1+c）/ a ＜（9+c）/ 3a ②
∵f（x）为奇函数且0≤f（x）≤3/2的解集是[-2，-1]∪[2，4]
∴存在f（-2）=f（2）
又函数f(x)为奇函数，所以f（2）=-f（-2）
所以：f（2）=0
（2）：由f（-2）=f（2）
即 （4+c）/ 2a =（4+c）/ -2a
解得 c = -4
代入①式，f（x）=（x² - 4）/ ax
代入②式，可解得 a ＞ 0
∴f（x）=（x² - 4）/ ax 在[-2，-1]∪[2，4]上为增函数
当x =-1或 4时，有最大值且最大值为3/2
代入f（x）=（x² - 4）/ ax 解得 a = 2
∴a = 2，b = 0，c = -4