设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(

设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=-1(I)... 设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=-1(I)求f(1)和 f( 1 9 ) 的值;(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围. 展开
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没钱KR95NH92
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(I)∵函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,
对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0.
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0,
得f(
1
9
)=2.
(II)设0<x 1 <x 2 <+∞,由条件(1)可得f(x2)-f(x1)=f(
x 2
x 1
),
x 2
x 1
>1,由(2)知f(
x 2
x 1
)<0,
所以f(x 2 )<f(x 1 ),
即f(x)在R + 上是递减的函数.
由条件(1)及(I)的结果得:f[x(2-x)]<f(
1
9
),
由函数f(x)在R + 上的递减性,得:
x>0
2-x>0
x(2-x)>
1
9

由此解得x的范围是(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
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