Question

已知函数f(x)＝a?12x+1．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函

已知函数f(x)＝a?12x+1．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．

Answer 1

（1）∵f（x）的定义域为R，
设x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝a?

1

2x1+1

?a+

1

2x2+1

=

2x1?2x2

(1+2x1)(1+2x2)

（4分）
∵x₁＜x₂，∴2x1?2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，（6分）
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a?

1

2?x+1

＝?a+

1

2x+1

，
解得：a＝

1

2

．∴f(x)＝

1

2

?

1

2x+1

．（12分）