Question

设f（x）在闭区间[0，1]上可微，满足条件f（1）=2∫120xf(x)dx，试证：存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）+ξ

设f（x）在闭区间[0，1]上可微，满足条件f（1）=2∫120xf(x)dx，试证：存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）+ξf′（ξ）=0．

Answer 1

设 F（x）=xf（x）．
由积分中值定理可得，存在 η∈（0，

1

2

），使得

∫

1 2 0

xf(x)dx=

∫

1 2 0

F(x)dx=

1

2

F(η)．
由已知条件 f（1）=2

∫

1 2 0

xf(x)dx 可得，F（η）=f（1）=F（1）．
在区间[η，1]上利用罗尔定理可得，ξ∈（0，1），使得 F′（ξ）=0，
即：f（ξ）+ξf′（ξ）=0

Answer 2

证明：由积分中值定理，存在η∈(0,1/2)使
2∫[0→1/2]
xf(x)
dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x)，则g(η)=ηf(η)=f(1)，g(1)=f(1)
因此g(x)在[η，1]内满足罗尔中值定理条件，
即存在ξ∈(η，1)，使g'(ξ)=0，且g'(x)=f(x)+xf
'(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf
'(ξ)=0。证毕
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