Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=4／5

（1）求sin2B+cos^2A+C/2的值
（2）若b=√2，求△ABC面积的最大值

Answer 1

cosB=4/5,则有sinB=3/5

sin2B=2sinBcosB=2*3/5*4/5=24/25
cos^2(A+C)/2=(cos(A+C)+1)/2=(cos(180-B)+1)/2=(1-cosB)/2=1/10
所以，sin2B+cos^2(A+C)/2=24/25+1/10=53/50
(2)b^2=a^2+c^2-2ac*cosB>=2ac-2ac*4/5
2>=2/5ac
ac<=5
故面积S=1/2acsinB<=1/2*5*3/5=3/2
即面积的最大值是：3/2

Answer 2

解：（I）因为cosB=4 /5，所以sinB=3/5
又sin2B+cos(2A+C)/2=2sinBcosB+cos(2π-B)/2 =2sinBcosB+1/2 (1-cosB)
=2×3/5×4 /5 +1/2×(1-4/5)
=53/50

（II）由已知得cosB=(a^2+c^2-b^2 )/2ac =4 /5 (余弦公式)
又因为b=√2
所以a^2+c^2-2=8ac/5
又因为a^2+c^2=8ac/5+2≥2ac，
所以ac≤5，当且仅当a=c=√5时，ac取得最大值
此时S△ABC=1 /2 acsinB=1 /2 *5*3/5=3/2
所以△ABC的面积的最大值为3/2

Answer 3

是cos^2(a+c)/2吗？