Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB ∥ CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形 ABCD外作等边三

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB ∥ CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形 ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ADF为等边三角形， ∴AF=AD，∠FAD=60°（1分） ∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分） ∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分） ∵AE为公共边 ∴△FAE≌△BAE（4分） ∴EF=EB（5分） （2）如图，连接EC．（6分） ∵在等边三角形△ADF中， ∴FD=FA， ∵∠EAD=∠EDA=15°， ∴ED=EA， ∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分） 由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°． ∵∠FAE=∠BAE=75°， ∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°， ∴BE=BA=6． ∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°， ∴∠GEB=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠GBE=30° ∴GE=GB．（8分） ∵点G是BC的中点， ∴EG=CG ∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°， ∴△CEG为等边三角形， ∴∠CEG=60°， ∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分） ∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC 2 =CE 2 +BE 2 ∴CE= 2 3 ， ∴BC= 4 3 （10分）； 解法二：过C作CQ⊥AB于Q， ∵CQ=AB=AD=6， ∵∠ABC=60°， ∴BC=6÷ 3 2 =4 3 ．