已知f(x)＝lnx，g(x)＝13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直
已知f(x)＝lnx，g(x)＝13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h...
已知f(x)＝lnx，g(x)＝13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．
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（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），
∴g(x)＝
x3+
x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．
∴
，∴
，…（4分）
∴g(x)＝
x3+
x2?x+
…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x2-x+1（x＞0）…（7分）
∴h′(x)＝
?2x?1＝
＝?
…（9分）
令h′（x）=0，得x＝
或x=-1（舍）…（10分）
当0＜x＜
时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＞
时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）
因此，当x＝
时，h（x）取得极大值，
∴[h（x）]极大=h(
)＝ln
+
∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），
∴g(x)＝
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴
|
|
∴g(x)＝
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x2-x+1（x＞0）…（7分）
∴h′(x)＝
| 1 |
| x |
| 1?2x2?x |
| x |
| (2x?1)(x+1) |
| x |
令h′（x）=0，得x＝
| 1 |
| 2 |
当0＜x＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因此，当x＝
| 1 |
| 2 |
∴[h（x）]极大=h(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
