Question

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosnπ）（an-1）+3，n∈N*．（1）求通项公式an；（2）设{an}

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosnπ）（an-1）+3，n∈N*．（1）求通项公式an；（2）设{an}的前n项和为Sn，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当n是奇数时，cosnπ=-1；当n是偶数时，cosnπ=1．
所以，当n是奇数时，a_n+2=a_n+2；当n是偶数时，a_n+2=3a_n． …（2分）
又a₁=1，a₂=2，，所以a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；
a₂，a₄，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．        …（4分）
所以，a_n=

n，n为奇数 2×3 n 2 ?1，n为偶数

．          …（6分）
（2）由（1），得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，
S_2n-1=S_2n-a_2n=3ⁿ+n²-1-2×3^n-1=3^n-1+n²-1．        …（8分）
所以，若存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1，则m=

S2n

S2n?1

=1+

2×3n?1

3n?1+n2?1

≤1+

2×3n?1

3n?1

=3． …（9分）
显然，当m=1时，S_2n=3ⁿ+n²-1≠1×3^n-1+n²-1=S_2n-1；
当m=2时，由S_2n=2S_2n-1，整理得3^n-1=n²-1．
显然，当n=1时，3^1-1≠1²-1；
当n=2时，3^2-1=2²-1，
所以（2，2）是符合条件的一个解．                  …（11分）
当n≥3时，3n?1＝(1+2)n?1≥1+

2C

1 n?1

+4

C

2 n?1

=2n²-4n+3=（n-2）²+n²-1＞n²-1．       …（12分）
当m=3时，由S_2n=3S_2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对． …（14分）