Question

各位大神 ∫xarctan2xdx怎么求 详细过程 很急 在线等！！！ 答案是(x^2/2)arctan2x+1/8arctan2x-1/4x+c？

Answer 1

∫xarctan(2x) dx
=(1/2)∫arctan(2x) dx^2
=(1/2)x^2.arctan(2x) -(1/2)∫x^2 darctan(2x)
=(1/2)x^2.arctan(2x) -(1/2)∫x^2 .{2/[1+(2x)^2] } dx
=(1/2)x^2.arctan(2x) -∫x^2 /(1+4x^2) dx
=(1/2)x^2.arctan(2x) -∫ [(1/4)(1+4x^2) -(1/4) ]/(1+4x^2) dx
=(1/2)x^2.arctan(2x) -(1/4)∫ [1 - 1/(1+4x^2)] dx
=(1/2)x^2.arctan(2x) -(1/4)x +(1/4)∫ dx/(1+4x^2)
=(1/2)x^2.arctan(2x) -(1/4)x +(1/8)∫ d(2x)/[1+(2x)^2]
=(1/2)x^2.arctan(2x) -(1/4)x +(1/8)arctan(2x) +C

Answer 2

∫xarctan2xdx = (1/2)∫arctan2xd(x^2) (分部积分)
= (1/2)x^2arctanx - ∫[x^2/(1+4x^2)]dx
= (1/2)x^2arctanx - (1/4)∫[(4x^2+1-1)/(1+4x^2)]dx
= (1/2)x^2arctanx - (1/4)∫[1-1/(1+4x^2)]dx
= (1/2)x^2arctanx - x/4 + (1/8)∫[1/(1+4x^2)]d(2x)
= (1/2)x^2arctanx - x/4 + (1/8)arctan(2x) + C

Answer 3

教育领域创作者

书本上求反正切函数arctanX的导数用的是纯代数方法的推导，严禁简单，但不显得那么直观，如下图所示

今天我们就用一种比较直观的几何方法求反正切函数的导数

同样做一个四分之一的单位圆，但这里为了更加直观仅用直角三角形来演示其原理

首先旋转一个微元的角度θ，这时形成一个新的微元三角形，且对应的边是微小量h

首先用h作为底来表示这个新三角形的面积：S= 1/2*h*1

如果用√(x+h)^2+1作为底来表示三角形的面积就等于：S=1/2√(x+h)^2+1*√(x^2+1)*sinθ

所以我们得到h=√(x+h)^2+1*√(x^2+1)*sinθ

我们带入d(arctanX)/dx经过简单的化简就得到反正切函数的的导数