Question

方程x+y-4 √x+y+2m=0表示一条直线，求m的取值范围.

Answer 1

(1)2m不在根号内
x+y-4 √x+y+2m=[√(x+y)-2]²+2m-4=0
∵方程x+y-4 √x+y+2m=0表示一条直线
∴2m-4=0
∴m=2
所表示一条直线为x+y=4
(2)2m在根号内
由x+y-4 √x+y+2m=0得(x+y)²=16(x+y)+32m
即(x+y-8)²=32m-64
∵方程x+y-4 √x+y+2m=0表示一条直线
∴32m-64=0
∴m=2
所表示一条直线为x+y=8
m的取值为2

Answer 2

设√(x+y)=t≥0,t²-4t+2m=0,
方程 x+y-4√(x+y)+2m=0 表示一条直线,则方程t²-4t+2m=0只能有一个正根一个负根或者两个相等正根。
有一个正根一个负根时，两根之积=2m<0，
有两个相等正根时△=16-8m=0,m=2.此时方程有两个相等正根2.
综上知：m<0或m=2.