Question

为什么矩阵A和A转置一定有相同的特征值?

Answer 1

设矩阵A经过初等行变换之后，化为上三角矩阵B，则A等价于B。

矩阵A'经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵C，则A'等价于C。

显然，B的转置矩阵B'=C。

因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，B和C的对角线元素相等。

因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积。

又因为，|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积。

|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积。

所以，|λI-A|=|λI-A'|。

所以，矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同。

将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的重数。