Question

高数问题。。。

lim x趋近于零 x平方分之一 减去 (cot x)^2 的值，求步骤

Answer 1

求极限 x➔0lim(1/x²-cot²x)
解：原式＝x➔0lim[(1/x²)-(cos²x/sin²x)]=x➔0lim[(sin²x-x²cos²x)/(x²sin²x)](0/0型，用罗必达法则)
=x➔0lim[2sinxcosx-(2xcos²x-2x²cosxsinx)]/(2xsin²x+2x²sinxcosx)
=x➔0lim[(xcosx-xcos²x+x³cosx)/(x³+x³cosx)](分子分母约去常量2，并用等价无穷小替换sinx)
=x➔0lim[(cosx-cos²x+x²cosx)/(x²+x²cosx)](还是0/0型，继续用罗必达法则)
=x➔0lim[(-sinx+2cosxsinx+2xcosx-x²sinx)/(2x+2xcosx-x²sinx)
=x➔0lim[(-x+4xcosx-x³)/(2x+2xcosx-x³)]
=x➔0lim[(-1+4cosx-x²)/(2+2cosx-x²)]=3/4

Answer 2

lim (1/x^2)-(cotx)^2
=lim (1/x^2)-(1/tanx)^2
直接通分
=lim[(tanx)^2 - x^2] / [x^2(tanx)^2]
(tanx~x,分子因式分解)
=lim (tanx+x)(tanx-x)/x^4
(左边的括号内都是x的等价无穷小，可分离）
=lim(tanx+x)/x * lim(tanx-x)/x^3
对右边的极限用洛必达法则
=[lim tanx/x + lim x/x] * lim [(secx)^2-1]/(3x^2)
因为右边的极限(secx)^2-1=(tanx)^2，等价替换为x^2
=2* lim x^2/(3x^2)
=2/3

做这类题目，能用等价无穷小替换的要尽早替换，否则就如推荐答案那样计算繁琐，而且容易出错

Answer 3

题目写的不大清楚。如果是 1/x² - (cot x)²
如果是 [1 - (cot x)²] / x² 两个解法不一样

Answer 4

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