Question

已知,如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,G是AB的中点,∠EGF=90°,GE,GF分别交直线AC,BC于点E、F.

已知,如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,G是AB的中点,∠EGF=90°,GE,GF分别交直线AC,BC于点E、F.⑴如图①求证：AE=CF,并计算四边形GECF的面积。⑵②AE与CF相等吗?并说明理由。⑶试计算图②中△GEF与△CEF的面积的差。

Answer 1

（1）连接CG CG=CG AG=BG AC=BC 所以△AGC≌△BGC
可知∠CGA=∠CGB=90°，即CG⊥AB ，且知 ∠A=∠B=45°
所以∠GCB=∠GCA=45° 知CG=GB=AG
∠ACB=90° ∠EGF=90° 所以 ∠CEG+∠CFG=180°
所以∠CFG=180° -∠CEG=∠AEG
又∠GCF=∠A=45° 所以∠CGF=180°-∠GCF-∠CFG=180°-∠A-∠AEG=∠AGE
又CG=AG 所以 △AGE≌△CGF 所以AE=CF

(2) 同样连接CG 知CG⊥AB 有∠CGE=90°-∠EGB=∠EGF-∠EGB=∠BGF
有∠GCE=∠FBC=135° 所以∠CGE=∠BFG
又CG=BG 所以△CGE≌△BGF 所以 CE=BF
AE=AC+CE=BC+BF=CF

(3)设CF交EG于H，则
△GEF面积-△CEF面积=△BGF面积+△BGH面积+△FHE面积-(△CEH面积+△FHE面积)
=△BGF面积+△BGH面积-△CEH面积=△CGE面积+△BGH面积-△CEH面积
=△CGH面积+△BGH面积=△CGB面积
对CGB知CG=BG=(1/2)AB=(1/2)√（AC²+BC²）=√2
CG⊥GB △CGB面积=(1/2)(CG)(BG)=1

△GEF与△CEF的面积的差=1

Answer 2

1/8+1/2）=5/6÷5/24=4天