Question

用逐项求导逐项积分的方法，得到的和函数，它原来的级数的收敛区间包括端点，但是求完和函数没了，这是为

用逐项求导逐项积分的方法，得到的和函数，它原来的级数的收敛区间包括端点，但是求完和函数没了，这是为何？定理说的逐项求导，逐项积分得到的级数的收敛半径不变，难道未包括原点？

Answer 1

幂级数逐项求导或积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径
但不包括端点

如果原级数在端点处收敛，所求的和函数在端点处如果是连续的，
那么在该点的和函数也是满足所求的和函数（一般都是满足的）。
如果原级数在端点处发散那么逐项求导之后的和函数一定在该点发散，
但逐项求积的和函数有可能在该点收敛
不过，原级数在端点处发散，
就没必要再讨论逐项求导或逐项积分得到的和函数在端点处是否收敛了。

这里在求和函数的过程中，|x|<1
最后写结论时，再把端点加进去

Answer 2

首先要求原级数一致收敛+每一项都连续才能逐项积分；(无限项时候交换求和和积分的次序)
原级数的导数一致收敛+导函数连续才能逐项求导;
你可以用脑子想一下：
每一项积分之后再用达朗贝尔判别法，得到的是一个通解无穷大，类似n+1/n这样的极限，所以收敛半径是不变的，
但是收敛区间（就是求完导的级数能够保持一致收敛这个性质）不一定不会变。
至于楼下说的和函数在区间端点连续，这个只要一致收敛就行，是必要条件