Question

y^(1/x)=x^(1/y)所确定的隐函数的二阶导数

Answer 1

y^(1/x)=x^(1/y)
就是y^y=x^x
两边取对数
就是
ylny=xlnx
两边求一阶倒数就是
y'lny+y/y=x'lnx+x/x
即y'lny+1=lnx+1
就是y'lny=lnx 解得y'=lnx/lny
继续两边求导就是
y''lny+y'/y=1/x
把y'=lnx/lny代入
再化简就变为
y''=1/（xlny)-lnx/(ln²y)
即y^(1/x)=x^(1/y)所确定的隐函数的二阶导数就是
y''=1/（xlny)-lnx/(ln²y)

追问

书上的答案是一阶导数等于(lnx 1)/(lny 1)怎么回事呢我觉得您说的很在理

追答

y^(1/x)=x^(1/y)
就是y^y=x^x
两边取对数
就是
ylny=xlnx
两边求一阶导数就是
y'lny+yy'/y=x'lnx+x/x
就是y'=(lnx+1)/(lny+1)
继续两边求导
y''=【1/x(lny+1)-(lnx+1)(y'/y)】/【lny+1】²
再把y'=(lnx+1)/(lny+1)代进去
化简就得
y''=1/【x(lny+1)】-(lnx+1)²/[y(lny+1)³]