Question

如图，在边长为2的等边三角形ABC中，E、F、G分别是AB、AC、BC边的中点，点P为线段EF上一动点，连接BP、...

如图，在边长为2的等边三角形ABC中，E、F、G分别是AB、AC、BC边的中点，点P为线段EF上一动点，连接BP、GP，则三角形BPG的周长的最小值是______(图请自画)

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

在ΔBPG中，BG=1/2BC=1，固定不变。
EF是ΔABC的中位线，∴AG与EF互相垂直平分，
问题转化为在直线EF上找一点P，使PB+PG最小，
P、G关于直线EF对称，∴AB是其最短距离，
即当P与E重合时，PB+PG=AB=2最小。
∴ΔBPG的周长最小值为3。

Answer 2

向量AE=m向量AB,向量AF=n向量AC,
EF的中点为M，
则向量AM=0.5(向量AE+向量AF)=0.5(m向量AB+n向量AC),
而BC的中点为N，
则向量AN=0.5(向量AB+向量AC),
因为AMN三点共线，
则向量AM=t向量AN,即m向量AB+n向量AC=t(向量AB+向量AC),
所以m=n

向量MN=向量MA+向量AN=-0.5(m向量AB+n向量AC)+0.5(向量AB+向量AC)=0.5[(1-m)向量AB+(1-n)向量AC],
而m+n=1，则向量MN=0.5[(1-m)向量AB+m向量AC],
所以|向量MN|^2=0.25[(1-m)^2+m^2+m(1-m)]
=0.25*(m^2-m+1)
=0.25*(m-0.5)^2+0.25*0.75
即当m=0.5时，向量MN的绝对值的最小值为(根号3/4)

Answer 3

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