线性代数 为什么(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)B 若B可逆,α1,α2,α3为V的基 则

线性代数为什么(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)B若B可逆,α1,α2,α3为V的基则可以推出β1,β2,β3线性无关?,从而β1,β2,β3也是V的基?补充:α... 线性代数
为什么(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)B
若B可逆,α1,α2,α3为V的基
则可以推出 β1,β2,β3线性无关?,从而 β1,β2,β3 也是V的基?
补充:α1,α2,α3为基则α1,α2,α3线性无关
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风清响
2012-11-14 · TA获得超过1万个赞
知道大有可为答主
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一个矩阵乘上一个可逆矩阵(如果可乘),不改变矩阵的秩。

例如AP(P可逆)的秩就等于A的秩。

可以用下面两种角度来证明
首先r(AP)<=min{r(A),r(P)},若P是可逆的,所以|P|不等于0,那么r(P)>=r(A)
所以,r(AP)=r(A)
其实这个是一个定理,即当P可逆时,r(AP)=r(A)

另外还可以这样想。
如果P可逆的话,我们可以把
AP看做是做了一组初等列变换,P=P1P2P3....,而初等变换是不改变矩阵的秩,和矩阵行列向量组的线性相关性的。所以当P可逆时,r(AP)=r(A)

有了以上的证明,这题就很显然了。
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)B ,而B是可逆的,所以r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)

(α1,α2,α3)是基,线性无关,所以r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)=3

所以β1,β2,β3无关,所以β1,β2,β3也是基
更多追问追答
追问
若P是可逆的,所以|P|不等于0,那么r(P)>=r(A)
请问这个怎么理解啊
若A是4*3 P是3*2 r(P)<=r(A)了啊
谢谢了^_^
追答
|P|不等于0,那么P满秩,而A不一定满秩啊。

“若A是4*3 P是3*2 r(P)<=r(A)了啊”

只有方阵才可能可逆,你这个例子首先举的就不对。。

P可逆时,r(AP)=r(A),这是一个定理。
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