Question

如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,且AD=2\3AB,DF//BC,E为BD的中点,若EF⊥AC,BC=6，求四边形DBCF的面积

Answer 1

过B作BG∥EF交FC于G，连接BF、BG

根据题意易知AD:DE:EB=4:1:1。

∵BG∥EF，∴AE:EB=AF:FG=(4+1):1，故AF=5FG

∵AB=AC，DF∥BC，易知AF=AD

令FG=a，则AF=5a，AD=AF=5a，AB=(5a)·(4+1+1)/4=15a/2

AC=AB=15a/2，GC=AC-AF-FG=15a/2-5a-a=3a/2

∵EF⊥AC、BG∥EF，∴BG⊥AC

在Rt△ABG中，根据勾股定理：BG²=AB²-AG²=(15a/2)²-(5a+a)²=81a²/4，BG=9a/2

在Rt△BCG中，根据勾股定理：BG²+CG²=BC²，即81a²/4+(3a/2)²=6²

解得a²=8/5

于是△ABC面积=AC·BG/2=(15a/2)·(9a/2)/2=(135/8)a²=27

△ADF面积:△ABC面积=(AD:AB)²=(2:3)²=4/9，△ADF面积=△ABC面积×4/9=12

∴四边形DBCF的面积=△ABC面积-△ADF面积=27-12=15

Answer 2

最佳答案看不懂，那条辅助线的方法完全想不到。。。。　我也在想这题　写出来了但方法不一样 困扰了我好久。。。。。希望能给大家参考
过程如下
取FC中点M　连接EM
∴DE＝BE　FM＝CM
∴EM为梯形DFCB中位线
∴EM＝（4＋6）÷2＝5
且DF∥EM∥BC
做FK⊥BC交FM于G点
∴∠FKE＝90°
由已知　∠EFC＝90°
∴∠EFG＋∠CFK＝∠EFG＋∠FEM
∴∠CFK＝∠FEM
∵∠EFC＝∠FKC＝90°
∴△EFM∽△FKC
∵AD＝三分之2AB
设DE＝BE＝X　则AD＝4X
∵DF∥BC
∴△ADF∽△ABC
AD比AB＝DF比BC=4X比6X=2比3
∵BC=6 所以DF=4
做D做DO垂直BC ∴△DBO≌△FCK
∴CK＝（6－4）÷2＝1　　CF＝DB＝2X
∵△EFM∽△FKC
∴FC比CK＝EM比FM
∴2X比1＝5比X
解得X＝2分之根号10
∴FC＝根号10　勾股定理算得高FK＝3
∴S＝（DF+BC）×FK÷2=（4+6）×3÷2＝15