Question

已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx^2-4kx+k+1=0的两个实数根

1）是否存在实数k，使（2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2成立？若存在，求出k的值。若不存在，说明理由
(2)求使（x1/x2)+(x2/x1)-2的值为整数的实数k的整数值
不要复制答案，自己写给我。因为好像别人做的是错误的。

Answer 1

第一个问题：
假设存在满足条件的实数k。
由韦达定理，有：x1＋x2＝4k/（4k）＝1、x1x2＝（k＋1）/（4k）。
∴（2x1－x2）（x1－2x2）
＝2x1^2－4x1x2－x1x2＋2x2^2＝2（x1^2＋x2^2＋2x1x2）－9x1x2＝2（x1＋x2）^2－9x1x2
＝2－9（k＋1）/（4k）。
依题意，有：（2x1－x2）（x1－2x2）＝－3/2，∴2－9（k＋1）/（4k）＝－3/2，
∴9（k＋1）/（4k）＝7/2，∴9（k＋1）＝14k，∴5k＝9。
∴存在满足条件的实数k，且k＝9/5。

第二个问题：
∵（x1/x2）＋（x2/x1）－2
＝（x1^2＋x^2）/（x1x2）－2＝［（x^2＋2x1x2＋x2^2）－2x1x2］/（x1x2）－2
＝（x1＋x2）^2/（x1x2）－4＝1/［（k＋1）/（4k）］－4＝4k/（k＋1）－4
＝4［k－（k＋1）］/（k＋1）＝－4/（k＋1）。
∴要使［（x1/x2）＋（x2/x1）－2］为整数，就需要（k＋1）为4的约数，
∴k＋1的值可以是：－4、－2、－1、1、2、4。
∴k的值可以是：－5、－3、－2、0、1、3。

Answer 2

由题可知：
k不等于0且
(4k)^2-4*4k*(k+1)>=0
=>k<0
(1)由韦达定理可知：
x1+x2=1
x1*x2=(1+k)/4k
所以：
(2x1-x2)(x1-2x2)=2x1^2－4x1x2－x1x2＋2x2^2＝2（x1^2＋x2^2＋2x1x2）－9x1x2＝2（x1＋x2）^2－9x1x2
＝2－9（k＋1）/（4k）
若存在实数k，使（2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2成立，则有：
2－9（k＋1）/（4k）=-3/2
=>k=9/5
又因为k<0
所以不存在实数k，使（2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2
（2）因为
（x1/x2）＋（x2/x1）－2
＝（x1^2＋x^2）/（x1x2）－2＝［（x^2＋2x1x2＋x2^2）－2x1x2］/（x1x2）－2
＝（x1＋x2）^2/（x1x2）－4
由（1）可得：
（x1/x2）＋（x2/x1）－2＝1/［（k＋1）/（4k）］－4＝4k/（k＋1）－4
＝4［k－（k＋1）］/（k＋1）＝－4/（k＋1）
要使（x1/x2）＋（x2/x1）－2为整数且因为k<0所以
k的整数值为3 1

Answer 3

假设存在满足条件的实数k。
由韦达定理，有：x1＋x2＝4k/（4k）＝1、x1x2＝（k＋1）/（4k）。
∴（2x1－x2）（x1－2x2）
＝2x1^2－4x1x2－x1x2＋2x2^2＝2（x1^2＋x2^2＋2x1x2）－9x1x2＝2（x1＋x2）^2－9x1x2
＝2－9（k＋1）/（4k）。
依题意，有：（2x1－x2）（x1－2x2）＝－3/2，∴2－9（k＋1）/（4k）＝－3/2，
∴9（k＋1）/（4k）＝7/2，∴9（k＋1）＝14k，∴5k＝9。
∴存在满足条件的实数k，且k＝9/5。

第二个问题：
∵（x1/x2）＋（x2/x1）－2
＝（x1^2＋x^2）/（x1x2）－2＝［（x^2＋2x1x2＋x2^2）－2x1x2］/（x1x2）－2
＝（x1＋x2）^2/（x1x2）－4＝1/［（k＋1）/（4k）］－4＝4k/（k＋1）－4
＝4［k－（k＋1）］/（k＋1）＝－4/（k＋1）。
∴要使［（x1/x2）＋（x2/x1）－2］为整数，就需要（k＋1）为4的约数，
∴k＋1的值可以是：－4、－2、－1、1、2、4。
∴k的值可以是：－5、－3、－2、0、1、3。

Answer 4

x1,x2是关于x的方程4kx^2-4kx+k+1=0的两个实根.
则：x1+x2=-(-4k)/4k=1
x1x2=(k+1)/4k
1)
(2x1-x2)(x1-2x)=2x1^2+2x2^2-5x1x2=2(x1+x2)^2-9x1x2=2-9(k+1)/4k=-3/2
9(k+1)/4k=7/2
9(k+1)=14k
k=9/5
2)
x1/x2+x2/x1-2
=(x1^2+x2^2)/x1x2-2
=(x1+x2)^2/x1x2-4
=4k/(k+1)-4
=-4/(k+1)为整数
则：k=3,1,0,-2,-3,-5
3)
k=-2,方程化为：-8x^2+8x-1=0
8x^2-8x+1=0
x1,2=(2±√2)/4
x1/x2=(2+√2)/(2-√2)=(2+√2)^2/2=3+2√2,或
x1/x2=(2-√2)/(2+√2)=(2-√2)^2/2=3-2√2,