Question

连续函数的证明问题

就是证明函数连续
用闭区间性质证明相等的问题

Answer 1

定理(最大值最小值定理) 若f(x)在闭区间(a,b)上连续，则f(x)在［a,b］上一定能取到最大值与最小值。　
证法一　
证 先证f(x)在闭区间［a,b］上有界，即存在M＞0，对一切x∈［a,b］都有｜f(x)｜≤M　若不然，则f(x)在［a,b］上无界，即任给N＞0，总存在x∈［a,b］使｜f(x)｜＞N，则对每一个自然数n，都存在xn∈［a,b］，使｜f(xn)｜＞n。　由｛xn｝有界，由Weierstrass定理知，｛xn｝必有收敛的子列｛｝使 ＝x0。　由a≤≤b，所以a≤x0≤b，由f(x)在x0点连续，由归结原则知f()＝f(x0)，即｜f()｜＝｜f(x0)｜，由｜f()｜＞nk＞k，所以｜f()｜＝＋∞，于是，｜f()｜＝｜f(x0)｜相矛盾。因此，假设不成立，故f(x)在［a,b］上有界。由f(［a,b］)为有界集，由确界定理知一定有上、下确界。　设M＝｛f(x)｝ m＝｛f(x)｝　先证必存在一点x1∈［a,b］，使f(x1)＝M，若不然，对一切x∈［a,b］，都有f(x)＜M，作函数h(x)＝，x∈［a,b］由M－f(x)≠0且连续，则h(x)在［a,b］上连续。由上面的证明知，h(x)在［a,b］有界，当然有上界即存在N＞0，对一切x∈［a,b］，有h(x)＝＜N，即M－f(x)＞，有f(x)＜M－与M是f(x)的上确界相矛盾，故必存在x1∈［a,b］,使f(x1)＝M。　同理可证存在x2∈［a,b］,使f(x2)＝M。　

最值定理的证法二　
证 有界性与证法一相同。　由f(［a,b］)有界，所以f(［a,b］)必有下确界与上确界。　设α＝inff(［a,b］) β＝supf(［a,b］)　f(x1)＝α，f(x2)＝β，由下确界定义，对一切x∈［a,b］有f(x)≥α，下面证明至少存x1∈［a,b］，x2∈［a,b］，使ε＞0，x′∈［a,b］，使f(x′)＜α＋ε，因此，对＞0，xn∈［a,b］，使f(xn)＜α＋，由｛xn｝有界，则必有收敛的子列｛｝，设 ＝x1且x1∈［a,b］。由f(x)在x1点连续，则　f(x1)，由归结原则知f()＝f(x1)，由α－＜α≤f()＜α＋　由0＜≤＝0由夹逼定理知，＝0　由 (α－)＝α， (α＋)＝α由夹逼定理知 f()＝α＝f(x1)　同理可证存在x2∈［a,b］，使f(x2)＝β　所以f(x)在［a,b］上一定能取到最大值与最小值。　
定理(根的存在定理) 若f(x)在闭区间［a,b］上连续，f(a)f(b)＜0,则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(ξ)＝0。　
证法一　
证 设E＝｛x｜f(x)＞0，x∈［a,b］｝，由E有界，所以有下确界，设ξ＝infE，虽然ξ≠a,ξ∈［a,b］，现证明f(ξ)＝0，若不然f(ξ)≠0不妨设f(ξ)＞0，
由f(x)在点连续的局部保号性，则存在ξ的δ领域U(ξ，δ)，对一切x∈U(ξ，δ)，有f(x)＞0。ξ－∈U(ξ，δ)，则f(ξ－)＞0与ξ＝inf 相矛盾，故f(ξ)＝0。　
证法二　
证：不妨设f(a)＜0＜f(b)，现将［a,b］二等分，若f()＝0，则取ξ＝，于是f(ξ)＝0，即ξ符合要求。若f()≠0，当f()＞0时，取［a,］［a1，b1］；或当f()＜0时，取［，b］［a1，b1］这样就得［a1，b1］，f(a1)＜0，f(b1)＞0，b1－a1＝。　再将［a1，b1］二等分，若f()＝0，则取ξ＝，于是f(ξ)＝0，即ξ符合要求。　若f()≠0，当f()＞0时，取［a1，］［a2，b2］；或当f()＜0时，取［，b1］［a2，b2］，这样就得到［a2，b2］，f(a2)＜0，f(b2)＞0，b2－a2＝。　照此下去，只可能出现两种情形。　1)在某一次的中点，有f()＝0，这时就是所求的ξ。　2)若每一次均有f()≠0，则得一闭区间｛［an，bn］｝其中　a1≤a2≤…≤an≤bn≤…≤b2≤b1 bn－an＝ f(an)＜0，f(bn)＞0由｛an｝递增有上界必有设an＝α，｛bn｝递减有下界必有极限，设bn＝β极限。 (bn－an)＝＝0，且 (bn－an)＝β－α＝0　即α＝β＝ξ且an≤ξ≤bn。由f(x)在ξ点连续，则　f(x)＝f(ξ)，由归结原则。　由an→ξ则f(an)＝f(ξ)，由f(an)＜0，则 f(an)＝f(ξ)≤0。由bn→ξ f(bn)＞0则f(bn)＝f(ξ)≥0，所以f(ξ)＝0　

追问

我就是想知道一些证明题上定理的使用、、
有什么关键点、、
证明题没思路、、

追答

你可以给出具体题目，这样我好解释一点

追问

设函数f(x)在区间【0，2a】上连续，f（0）=f（2a），证明：在区间【0，a】上至少存在一点x0，使得f（x0）=f（x0+a）；
就是这种类似的证明题
如何寻找思路，感觉对就是写不出

Answer 2

楼主，你的追问这样答：
设F(x)=f(x)-f(x+a)
F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)=-F(0)
若F(x)恒为零，则任意x0属于[0,a]都有f（x0）=f（x0+a）；
若F(x)不恒为零，则由介值定理知，存在x0属于[0,a]使得F(x0)=0,
即f(x0)-f(x0+a)=0,亦满足f（x0）=f（x0+a）。
所以总存在x0属于[0,a]使得f（x0）=f（x0+a）成立

另外，
①费马定理是最基本的，
②由费马定理和极大极小值定理可推出洛尔定理，
③由洛尔定理通过构造函数又可推出拉格朗日定理和柯西定理，
④由拉格朗日定理又可以推出泰勒展开公式。

你自己学学构造函数的方法还有证明一下上面我给你的四个问题，我就是这样做了以后才豁然开朗的，现在一般这样的题都不在话下了。相信你练了之后一般问题都能解决掉~

参考书推荐《数学分析的理论、方法与技巧》（华中科技大学出版社），可以借到南开大学复旦大学或北京大学的教材时，就借一本看看，我不想通过给你解题获得你的积分，你能学好是最好的。