Question

AB是圆O的直径C是弧AE的中点CD⊥AB于D求证:AE=2CD

Answer 1

证明: 如图所示:

连接CO交AE于点F,

∵C是弧AE的中点,

∴OC⊥AE, AE=2AF

∴∠AFO=90°

∵CD⊥AB

∴∠CDO=90°=∠AFO

∵∠COD=∠AOF

OC=OA

∴△CDO≌△AFO

∴CD=AF

∴AE=2CD

Answer 2

证明：以O为圆心，OA为半径画另半个圆弧AB，延长CD交圆于F，连接AF
∵C是弧AE的中点
∴弧AC＝弧EC
∴∠CAE＝∠CEA，AC＝EC （等弧对等弦）
∵AB是圆O的直径，CD⊥AB
∴CF＝2CD，AB垂直平分CD （垂径分弦）
∴AF＝AC
∴∠ACF＝∠AFC
∵∠AFC、∠AEC所对应圆弧都为劣弧AC
∴∠AFC＝∠AEC
∴∠CAE＝∠ACF
∴△ACF≌△CEF （AAS）
∴AE＝CF
∴AE＝2CD