Question

证明∫e^(cosθ)cos(sinθ)dθ=π

Answer 1

首先我们已知积分∫(|z|=1) (e^z/z)dz=2πi，z=1*e^（iθ)=cosθ+isinθ，把z代入前面积分，得∫（0到2兀）（e^（cosθ+isinθ）/（cosθ+isinθ）））*（（cosθ+isinθ）的导数）dθ，分式上下两边同乘（cosθ—isinθ），得到∫（0到2兀）e^（cosθ+isinθ）*idθ=2兀i。
所以∫（0到2兀）e^（cosθ+isinθ）*dθ=2兀。然后积分里面拓展开来是e^cosθ｛cos（sinθ）+sin（sinθ）｝
设sinθ=a。
则cosa=cos（-a）（偶函数），sina=-sin（-a）（奇函数），e^（cosa）=e^（cos-a）（偶函数）
所以积分∫（0到2兀）e^cosθ（cos（sinθ））dθ=2兀，∫（0到2兀）e^cosθ（sin（sinθ））dθ=0

Answer 2

高等数学二重积分问题,求高手帮忙
∫(sinθ)^3dθ从-π/2到π/2的积分：我用以下两种方法做,结果不一样,求解释.方法1：
∫(sinθ)^3dθ=-∫(sinθ)^2dcosθ=-∫(1-cosθ^2）dcosθ={-cosθ+（1/3）cosθ^3}(-π/2到π/2),结果=0；
方法2：将∫(sinθ)^3dθ从-π/2到π/2分为-π/2到0和0到π/2,有公式∫(sinθ)^3dθ从-π/2到0和0到π/2的结果各为2/3,所以最后结果为4/9.究竟哪一种做法对?

方法一是对的.被积函数为奇函数,积分区间对称,所以最后结果应该为0.你第二个应该算错了.

Answer 3

我觉得是可以化简为∫e^(cosθ)/(cosθ) dsin(sinθ),然后 根据∫e^z/zdz=2πi
得出 原式=π，中间dsin(sinθ)我不会