Question

行列式的定义法是什么意思?具体是怎样运算的，可以具体举一个例子吗?

Answer 1

就是按行列式的定义求行列式
例:用定义计算行列式
a1 0 0 b1
0 a2 b2 0
0 c1 d1 0
c2 0 0 d2
解: D = (-1)^t(1234)a1a2d1d2
+ (-1)^t(1324)a1b2c1d2
+ (-1)^t(4321)b1b2c1c2
+ (-1)^t(4231)b1a2d1c2
= a1a2d1d2-a1b2c1d2+b1b2c1c2-b1a2d1c2= (a1d2-b1c2)(a2d1-b2c1).

追问

解的那些项是经过怎样的排列得到的啊？？！！

追答

每行每列恰取一个元素相乘
行标按自然序, 列标排列的逆序数的奇偶确定此项的正负

你比对看看

Answer 2

行列式的基本性质
概述
　　在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。 在行列式中，某一行（列）有公因子k，则可以提出k。 在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。 行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。 在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。 将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。 注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改变。 将行列式的行列互换，行列式的值不变。其中，行列互换相当于转置，记作D = D。 例如
其它性质
　　若A是可逆矩阵， 设A‘ 为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。
编辑本段行列式的展开
　　余因式(英译：cofactor)
　　又称“余子式”、“余因子”。参见主条目 余因式 对一个 n 阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的 n-1 阶的行列式叫做M关于元素mij的子式。记作Mij。
　　余因式为 Cij=（-1）^(i+j)*Mij
代数余子式
　　M关于元素mij的代数余子式记作Cij。。
行和列的展开
　　一个 n 阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。
　　这个公式又称作拉普拉斯公式，把 n 阶的行列式计算变为了 n 个 n-1 阶行列式的计算。
行列式函数
　　由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。
　　单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为
　　矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。
　　函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为
　　也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度
　　特别当A为单位矩阵时，
　　可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。
编辑本段应用
　　行列式与线性方程组
　　行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有 n 个方程和 n 个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。
　　当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。
　　行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。