Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，DF⊥AB，DE⊥AC，CH⊥AB。求证：CH=DF+DE

Answer 1

证明：
(1)如图，过点D作DG⊥CH，交CH于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，DG⊥CH，
∴四边形DGHF为矩形，∴DF=GH，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∠DCG+∠ABC=90°，∠CDE+∠ACB=90°，
∴∠DCG=∠CDE，
又∵DG⊥CH，DE⊥AC，
∴∠DGC=∠CED=90°，
又∵DC为公共边，
∴△DGC≌△CED，（AAS）
∴DE=CG
∴DF+DE=HG+CG=CH.

Answer 2

连接AD
∴S⊿ABC=S⊿ABD+S⊿ACD
∵DE⊥AB DF⊥AC CH⊥AB
∴½×AB×CH=½×AB×DE+½×AC×DF
∵AB=AC
∴CH=DE+DF

Answer 3

连接AD
∴S⊿ABC=S⊿ABD+S⊿ACD
∵DE⊥AC DF⊥AB CH⊥AB
∴½×AB×CH=½×AB×DF+½×AC×DE
∵AB=AC
∴CH=DE+DF