Question

已知函数f（x）=x³/3-[(a+1)x²]/2+bx+a(其中a，b∈R），其导函数f'(x)的图像过原点。

1.若存在x<0,使得f'(x)=-9，求a的最大值
2.当a>0时，确定函数f（x）的零点个数

Answer 1

f'(x)=x^2-(a+1)x+b,因为导数经过原点，所以将（0,0）代入上式可得b=0
当x<0时，f'(x)=-9,所以函数f'(x)有解，所以b^2-4ac=(a+1)^2-4*9>=0,所以得出a<=-7,或者a>=5;
又因为f'(x)=-9,所以x^2-(a+1)x=-9得出x^2+9=(a+1)x,得出x=(x^2+9)/(a+1),条件给出x<0,而且x^2+9>0
所以a+1<0,所以得出a<-1.综合max（a）=-7
2、f'(x)=x^2-(a+1)x,当x>0时，令f'(x)>0,得到x>a+1,所以在x>a+1时，函数单增，0<x<a+1时单减，而x=a+1，f（x）=[5(a+1)^2]/6+a>0,所以没有零点然后按照这个方法再往左边讨论。。。就知道了