Question

定积分的概念 f(x)从a到b的积分函数F(x)连续的几何意义是什么?

Answer 1

一、 定积分的定义：1、 积分的基本思想：下面先看两个实例：（1） 曲边梯形的面积：在生产实际和科学技术中,常常要计算平面图形的面积.曲线围成的平面图形的面积,在适当选择了坐标系后,往往可以化为两个曲边梯形面积的差. 所谓曲边梯形是指在直角坐标系中,由连续曲线y=f（x）与三条直线x = a、x = b、y = 0所围成的图形.如上图,MMNN就是一个曲边梯形 .MN称为底边、曲线段称为曲边.※ 设y=f（x）在[a,b]上连续,且f（x）0,求以曲线y=f（x）为曲边、底为[a,b]的曲边梯形的面积A.由于平面图形的面积具有“可加性”,所以可用一组垂直于x轴的直线把整个曲边梯形分割成许多小曲边梯形.由于每个小曲边梯形的底边很窄,而f（x）又连续变化,所以可用这个小曲边梯形的底边作为宽、以它底边上任一点所对应的函数值f（x）作为长的小矩形的面积来近似表示这个小曲边梯形的面积,再把所有这些小矩形的面积加起来,就可以得到曲边梯形的面积A的近似值.分割越细密,所有小矩形的面积之和越接近曲边梯形的面积A,当分割无限细密时,所有小矩形的面积之和的极限值就是曲边梯形的面积A的精确值.① 任取分点：,这些分点把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 []、[]、……、[]、……、[].小区间[]的长度记为 （ =1,2,……,n）,过各分点作垂直于x轴的直线得到n个小曲边梯形.第个小曲边梯形的面积记为 （ =1,2,……,n）.② （）.③ 把n 个小矩形的面积 相加得和式,即A .当最大的小区间的长度趋于0时,上和式的极限就是A,即：A=.可见,曲边梯形的面积是一个和式的极限. （2） 变速直线运动的路程：设一物体沿直线运动,已知速度v = v（t）0是时间区间 [a,b]上的连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程s.※ 对匀速直线运动有s = vt,现在速度是变速,因此s不能直接按上公式计算.同曲边梯形的面积的计算方法类似,有：由此可见,变速直线运动的路程也是一个和式的极限.2、 定积分的定义：设函数y =f（x）在 [a,b]上有界,在 [a,b]中任意插入若干个分点,把区间[a,b] 分成n个小区间 []、[]、……、[]、……、[].小区间[]的长度记为 （ =1,2,……,n）,在第个小区间[]上任取一点（）.,作乘积（1,2,……,n）,并作和,记作.即：= “”称为积分号,叫被积函数,叫被积表达式,x叫积分变量,a为积分下限,b为积分上限, [a,b]为积分区间.由此可知：上二例的A= s=※ 注意：① 只与f（x）及 [a,b]有关,与积分变量用什么字母表示无关,即：=== ……② 当a = b时, =0③在上定义中,a总小于b,为方便计算,对ab的情况补充为=3、 例题：根据定积分的定义计算※ n等分区间 [0,1],取各区间的右端点为=（=1,2,……,n）,二、 定积分的几何意义：1、 几何意义：（1）若f（x）在 [a,b]上连续且f（x）0,那么就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积.即：A =　　（2）若f（x）在 [a,b]上连续且f（x）0,由于= 的右端和式中每一项都是负值（）,其绝对值||表示小矩形的面积,因此也是一个负数,从而= -A,即：A = -,这里的A是由曲线y=f（x）、直线x = a、x = b及x轴所围成的曲边梯形的面积.（3）若f（x）在 [a,b]上连续,且有时为正、有时为负,如上图,连续曲线y=f（x）、直线x = a、x = b及x轴所围成的图形是由三个曲边梯形组成.由定积分的定义可得：=A-A+A,由此可知,在几何上表示介于曲线y=f（x）、x轴及直线x = a、x = b之间锝各部分面积的代数和.