Question

菁优网在平面直角坐标系中，点A（0，4）B（3，4）C（6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在Y 轴上向

动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，过点P作RP垂直与y轴，交OB于R，连接RQ。当点P与点O重合时，两动点均停止运动。设运动的时间为t秒。
（2）在线段OB上是否存在点R，使三角形ORQ与三角形ABC相似？若存在请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由
题目是在平面直角坐标系中，点A（0，4）B（3，4）C（6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在Y 轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，过点P作RP垂直与y轴，交OB于R，连接RQ。当点P与点O重合时，两动点均停止运动。设运动的时间为t秒。
（2）在线段OB上是否存在点R，使三角形ORQ与三角形ABC相似？若存在请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵A（0，4），B（3，4），
∴AB⊥y轴，AB=3．∵RP⊥y轴，
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB，
∴OPOA＝PRAB．当t=1时，AP=1，OP=3，
∴34＝PR3，∴PR＝94．∵R的纵坐标等于OP的长，
∴点R的坐标为（94，3）．
（2）如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（3，0）在△BOC中，
∵OD=DC=3，
且BD⊥OC，
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB，
∴OROB＝OPOA，
∵在Rt△OBD中，OB＝OD2+BD2＝5
∴OR5＝4−t4，
∴OR＝20−5t4．
由题意得，AP=t，CQ=2t（0≤t≤4）．
分三种情况讨论：
①当0≤t＜3时，即点Q从点C运动到点O（不与O重合）时，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x轴，
∴∠BOC=∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC，∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC，∠BOC＞∠BAC，
∴当0≤t＜3时，△ORQ与△ABC不可能相似．
②当t=3时，点Q与O重合时，△ORQ变成线段OR，故不可能与△ABC相似．
③如图，当3＜t≤4时，即点Q从原点O向左运动时，
∵BD∥y轴
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC
当OQ/OR=AB/BC时，∵OQ=2t-6，∴(2t-6)/(20-5t)/4=3/5，∴t＝36/11．当OQ/OR=BC/AB时，同理可求得t＝172/49．经检验t＝36/11
和t＝172/49
均在3＜t≤4内，∴所有满足要求的t的值为36/11和172/49．