Question

高数题!可降阶的高阶微分方程 y''+（y'）^2=1 ；y（0）=0 ；y'（0）=0特解.

Answer 1

令y'=p,则y"=pdp/dy
代入方程得：pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(-p^2)/(1-p^2)=-2dy
积分：ln|1-p^2|=-2y+C1
即1-p^2=Ce^(-2y)
代入y(0)=0,p(0)=0,得：C=1
故p^2=1-e^(-2y)
dy/√[1-e^(-2y)]=±dx
记t=√(1-e^(-2y)),则y=-0.5ln(1-t^2),dy=t/(1-t^2)dt
上式化为：
dt/(1-t^2)=±dx
dt*[1/(1-t)+1/(1+t)]=±2dx
积分：ln|(1+t)/(1-t)|=±2x+C2
(1+t)/(1-t)=Ce^(±2x)
x=0时,y=0,t=0,代入得：C=1
故有：[1+√(1-e^(-2y))]/[1-√(1-e^(-2y)) ]=e^(±2x)