Question

已知定义域为R的函数f(x)=2x+1分之a乘2的x次方-1是奇函数 (1)求a的值 (2)试

已知定义域为R的函数f(x)=2x+1分之a乘2的x次方-1是奇函数
(1)求a的值 (2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明 (3)若对任意的t∈［-2,2］,不等式f(t的平方-2t)＋f(2t的平方-k)＜0成立,求k的取值单位
是取值范围不是单位…打错了

Answer 1

解：f(x)=(a*2^x-1)/(2^x+1)是奇函数，则由f(0)=0得
(a-1)/2=0，得a=1
则f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
设x1<x2，则f(x1)-f(x2)=[1-2/(2^x1+1)]-[1-2/(2^x2+1)]
=2/(2^x2+1)-2/(2^x1+1)>2/(2^x1+1)-2/(2^x1+1)=0
也即f(x1)>f(x2)，故f(x)严格单调递减。
f(t^2-2t)＋f(2t^2-k)=f(2t^2-k)-f(2t-t^2)＜0
故f(2t^2-k)<f(2t-t^2)
因f(x)严格单调递减，故有2t^2-k>2t-t^2，得
3t^2-2t-k>0
也即，对任意的t∈［-2,2］，均有3t^2-2t-k>0成立。
也即对任意的t∈［-2,2］，均有k<3t^2-2t成立。
而3t^2-2t=3(t-1/3)^2-1/3，故当t=1/3时3t^2-2t取最小值-1/3，故只需k<-1/3即可。