Question

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,O是AB中点,边BC,AC上的高AD,BE相交于F连结EDG是ED的中点

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,O是AB中点,边BC、AC上的高AD、BE相交于F连结ED,G是ED的中点，连结OG （1）求证AF=BC (2)判断OG与ED的位置关系，写出你的结论并证明（3）若OG.DF=6-3√2　求AB的长

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Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠EAF+∠C=EBC+∠C=90°，∴∠EAF=∠EBC，
∵∠BAC=45°，∴RTΔABE是等腰直角三角形，AE=BE，
又∠AEF=∠BEC=90°，
∴ΔAEF∽ΔBEC，∴AF=BC。
⑵∵O是AB的中点，∠AEB=∠ADB=90°，
∴OE=OD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
又G是DE的中点，∴OG⊥DE，OG平分DE。
⑶OD是ΔABC的中位线，∴OD∥AB，∴∠BOD=∠BAC=45°，
∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE=45°，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=45°，
OG平分∠DAE，∴∠DOG=∠CAD=∠CBE，
∴RTΔDFB∽RTΔGDO，
∴DF/DG=BD/OG，
∴DG*DB=DF*OG=6-3√2，
又DG=1/2DE=1/2BD，
∴BD^2=12-6√2，(按已知条件，这里可以为完全平方式，可惜不能配方)，
那下去用三角函数，取近似值吧。

Answer 2

(1)
依题可知∠B=∠C=(180°-45°)/2=67.5°
而∠ABE=90°-45°=45°，所以AE=BE，且∠CBE=67.5°-45°=22.5°=∠DAC ∴△AFE≌△CBE,所以AF=BC
（2）以O为圆心，以AB为直径做圆，则D、E必在圆上，而G为DE中点，所以OG垂直于DE
（3）
通过以上关系可以得出∠ODE=∠OED=67.5°，所以 OG=ODsin67.5°=OBsin67.5°=ABsin67.5°/2
又DF=AD-AF=AD-BC=ABsin67.5°-2ABcos67.5°
所以有 （ABsin67.5°/2）（ABsin67.5°-2ABcos67.5°）=6-3√2
解出AB=2√6

追问

第二问的过程？

追答

第二问的过程很简单啊，因为角AEB和角ADB都是直角，所以D、E必在圆上。

Answer 3

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