Question

已知函数f(x)=1+x^2分之ax+b是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(2分之1)=5分之2，

1.确定函数f(x)的解析式：
2.用定义证明f(x)在(-1，1)上是增函数：
3.解不等式f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

(1)函数f（x）=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数
且f（1/2）=2/5
则有f(0)=b=0 (a/2+b)/(1+1/4)=2/5
即2a/(4+1)=2/5
解以a=1
函数解析式为f(x)=x/(1+x²)
(2) 设-1<x1<x2<1
则x2-x1>0 x1x2<1 即1-x1x2>0
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)=[x2(1+x1²)-x1(1+x1²)]/(1+x1²)(1+x2²)
=[(x2-x1)+x1*x2(x2-x1)]/(1+x1²)(1+x2²)
=(x2-x1)(1-x1*x2)/(1+x1²)(1+x2²)
>0
所以f(x)是增函数
(3) 因为f(x)是奇函数
则有f(-t)=-f(t)
于是f(t-1)+f(t)<0
即f(t-1)<-f(t)=f(-t)
又知f(x)为增函数，则
-1<t-1<-t<1
所以0<t<1/2