已知，a，b，c是△ABC的三边，求证：（a 2 +b 2 -c 2 ） 2 -4a 2 b 2 ＜0．
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证明：∵（a 2 +b 2 -c 2 ） 2 -4a 2 b 2
=（a 2 +b 2 -c 2 ） 2 -（2ab） 2
=（a 2 +b 2 -c 2 +2ab）（a 2 +b 2 -c 2 -2ab）
=[（a 2 +2ab+b 2 ）-c 2 ][（a 2 -2ab+b 2 ）-c 2 ]
=[（a+b） 2 -c 2 ][（a-b） 2 -c 2 ]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c），
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴（a 2 +b 2 -c 2 ） 2 -4a 2 b 2 =（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0．
=（a 2 +b 2 -c 2 ） 2 -（2ab） 2
=（a 2 +b 2 -c 2 +2ab）（a 2 +b 2 -c 2 -2ab）
=[（a 2 +2ab+b 2 ）-c 2 ][（a 2 -2ab+b 2 ）-c 2 ]
=[（a+b） 2 -c 2 ][（a-b） 2 -c 2 ]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c），
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴（a 2 +b 2 -c 2 ） 2 -4a 2 b 2 =（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0．
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