Question

线性代数中一个关于行列式的问题

这个问题是这样的，行列式 0 0 0 1

0 0 2 0
0 3 0 0

4 0 0 0

如果我按照普通方法的话，就是主对角线减去副对角线的方法，那么就应该等于0+0+0+0-1*2*3*4-0-0-0=-24
可是书本上的例题却说，等于1*2*3*4 前面是正好。由于它是的逆序数为（4321）=6 是偶排列，所以是正号
好不解呀。。。。
还有就是说这个行列式展开后有4！的项数，就是24项，不是应该只有8项吗。。。24项是怎么来的呢。
请线代高手好好帮助一下小弟，小弟在此谢过啦！

Answer 1

一看问题就是菜鸟。
2到3阶的行列式有公式，但不是一般公式，是行列式展开的特例。副对角线的元素乘积不一定是负号，符号决定于排列n(n-1)……21的逆序数即n(n-1)/2的奇偶性。容易验证，n=1,2,3时为奇数，但是n=4,5为偶数。
n阶行列式的每一项对应n个数的一个排列，所以n阶行列式有全排列n!项