Question

运筹学问题

为什么在第二个约束条件加两个变量？
大M法设变量的思路能详细说下么？

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Answer 1

对于求极大值问题，M目标函数中需要-M乘以人工变量xi（有几个人工变量，就要减去几个Mxi）：首先跟单纯形法一样，约束条件<=的，加松弛变量，这道题约束条件1 加x4，这个不用我说吧。其他两个约束条件也一样，>=的减去一个剩余变量，因为我们在列单纯形表时，需要找出一组基，一般是系数为1的，也就是构成一个单位矩阵，这个不用我说吧。第二个约束条件是-x5，x5是剩余变量，前面系数是-1，凑不成单位矩阵，所以我们为了凑成一个单位矩阵，需要自己加一个变量，即人工变量x6，系数是1，而第三个约束条件也需要加一个人工变量x7,可以凑成基。 初始单纯形表中就可以直观地找出基了。即p4,p6,p7 ，也就是基变量x4,x6,x7所在的那一列，三列构成了一个单位矩阵。 迭代过程也差不多，对于求极大值问题， 将M看出无穷大，也就是一个数了。一样的做。最优解判式也一样。 只不过，如果迭代到最后，发现人工变量是基变量，且不为0，那么无解，若基变量中没有含有人工变量或者人工变量为0，则按照判别式来判断具体是哪一种解。这是求极大值的，极小值问题，另当别论。至于其他的一样。
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1 -2 1 1 0 0 0
-4 1 2 0 -1 1 0
-2 0 1 0 0 0 1
对于极大值问题，换入基时，判别是：检验数为正且绝对值最大的那一列，不如M-2与M-3比较，M是无穷大，M-2较大，选择检验数大的那一列，在换出基时，则选比值最小的且不为负数的，相交的那个变量入基，作为主元素，也就是打【】的那个，这个你应该清楚，因为我们求的是极大值，要尽快让目标值趋向于最大，所以选择检验数较大的作为入基变量考虑，直到所有的检验数都，<=0时，才得到最优解。极小值问题，目标函数中+Mxi(有几个人工变量，就加几个)，判别是否最优解，换入基时，选择检验数最小的且为负的，要尽快趋向最小值，出基时则一样，选择比值小的，然后相交的那个变量就是了。希望能帮助你。

追问

那如果约束条件中x5的系数为+1的话，也就是《3，x6是不是就没必要加了？就加一个人工变量就可以了？

追答

如果是<=3的话，那就是加一个松弛变量了，而不是减去一个剩余变量，也就是这时候好似加上x5,注意：x5这时是松弛变量，自然系数就是1了，所以，嘿嘿，没错，没有必要加人工变量。

Answer 2

x5是松弛变量，将不等式约束变成等式约束，而x6是人工变量，目的是得到的初始可行基是单位矩阵。人工变量是多余的，如果问题有可行解则意味着人工变量一定等于零。大M法，即令人工变量的系数为M｛求最小问题｝，或者－M｛求最大问题｝，目的就是尽快将人工变量从可行基中换出。

Answer 3

大M法的基本思路：对于目标函数为max的标准型线性规划，人工变量在目标函数中的价值系数取—M，M为一个很大的正数。目的是为了使人工变量尽快从基变量转变为非基变量。在初始的标准化过程中，约束条件变成：（1）X1-2X2+X3+X4=11（2）-4X1+X2+2X3-X5=3（3）-2X1+X3=1
（4）X1，X2，X3，X4，X5>=0。然后是添加人工变量的过程，现在我们需要得到一个单位矩阵，以此为可行基得到一个初始基础可行解。观察技术系数矩阵，子矩阵中凑不出一个单位矩阵，所以添加两个人工变量，X6、X7，于是能得到（X4，X6，X7）为可行基。所以第二个约束条件中的X5、X6不是同时加的。然后在进行迭代，知道将人工变量由基变量换成非基变量。