Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的三边长分别是a、b、c，若sinc=sin(B-A)=sin2A，判断△ABC的形

状

Answer 1

解：因为sin(B-A)=sin2A,所以sin(B-A)-sin2A=0, 2C0S[(B-A+2A)/2]sin[（B-A-2A）/2]=0
c0s(A+B)Sin(B-3A)=0
所以(A+B)/2=90°(舍去）或B=3A
又sinC=sin2A所以sinC-Sin2A=2cos[(C+2A)/2]sin[(C-2A）/2]=0
所以[C-2A]/2=±90°（舍去）或(C-2A)/2=0°
所以C=2A,联立A+B+C=180°解得A=30°C=60°B=90°
所以△ABC为直角三角形。

Answer 2

∵sinC＋sin（B－A）＝sin2A，
∴sin（180°－B－A）＋sin（B－A）＝2sinAcosA，
∴2sinBcosA＝2sinAcosA，
∴sinBcosA－sinAcosA＝0，
∴cosA（sinB－sinA）＝0，
∴cosA＝0，或sinB＝sinA，
∴A＝90°，或A＝B。
∴满足条件的△ABC是直角三角形，或是等腰三角形。

Answer 3

A+B+C=180度，则sinC=sin(A+B),
则sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,
则sinAcosB=0，
由于ABC是三角形内角，不可能为0度和180度，
则cosB=0，则B=90度，
由于sin(B-A)=sin(90度-A)=cosA=sin2A=2sinAcosA，
则2sinA=1,则A=30度，B=60度