Question

如图bd是三角形abc的角平分线ce垂直于bd于点e若de=1+bd=2+ab=3求ac的长

Answer 1

BD是△ABC的角平分线，
所以∠ABD=∠DBC<90°，
CE⊥BD于E,DE=1,BD=2,若E在BD上，则BE=2-1=1=DE,
所以BC=CD=a,CA=b,
AB=3,
由角平分线性质，AD/DC=AB/BC,
所以b-a=3,不可能。故E在BD的延长线上，BE=BD+DE=3,
设CE=x,则CD=√(x^2+1),BC=√(x^2+9),
cos(B/2)=BE/BC=3/√(x^2+9),
cosB=2cos^(B/2)-1=18/(x^2+9)-1=(9-x^2)/(x^2+9),
由角平分线性质，[b-√(x^2+1)]/√(x^2+1)=3/√(x^2+9),
b=3√[(x^2+1)/(x^2+9)]+√(x^2+1),①
由余弦定理，b^2=9+x^2+9-6（9-x^2）/√(x^2+9)，②
把①代入②，得9(x^2+1)/(x^2+9)+6(x^2+1)/√(x^2+9)+x^2+1=18+x^2-6（9-x^2）/√(x^2+9),
60/√(x^2+9)=17-9(x^2+1)/(x^2+9),
两边都乘以(x^2+9),得60√(x^2+9)=8x^2+144,
15√(x^2+9)=2x^2+36,
2(x^2+9)-15√(x^2+9)+18=0,
√(x^2+9)=6或3/2（舍），
x^2=27,
代入①，得AC=b=3√7.

Answer 2

过A作AF⊥BD于F,列比例式可以解出BF=3/2，进而得BC=6， ∠ABC=120°，AC=3√7。