Question

如图,△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是AC,AB上的高,BD与CE交与点O,延长AO交BC与F.求证AF⊥BC

别用HL证没学过

Answer 1

你好！

△ABD和△ACE中
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°
∴△ABD≌△ACE（角角边A.A.S）
∴AD=AE

Rt△AEO中，EO² = AO² - AE² （勾股定理）
Rt△ADO中，DO² = AO² - AD²
∵AD=AE（已证）
∴EO=DO
∴△AEO≌△ADO（边边边S.S.S）
∴∠BAF = ∠CAF
即AF是角平分线
由等腰三角形三线合一可得 AF⊥BC

如果没学过三线合一，再证一次全等即可

△ABF和△ACF中，
∵AB=AC，∠BAF = ∠CAF，AF=AF
∴△ABF≌△ACF
∴∠AFB = ∠AFC
又∠AFB+∠AFC=180°
∴∠AFB = ∠AFC = 90°
即 AF⊥BC

Answer 2

证明三角形DBC与三角形ECB全等。会吧AAS 有一个共边
在证明三角形AEO与ADO全等用SSS其中AD=AC-DC,AE=AB-BE;
则有角EOA=AOD
则对顶角BOF=COF;
加上之前的DBC=ECB;和共边OF又可以用AAS证BOF与COF全等，则OFC=OFB，可得到垂直；符号自己加

Answer 3

在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴∠ABD=∠ACE
∵AB=AC
∴∠ABF=∠ACF
∴∠CBO=∠BCO

在△ABO和△ACO中
∴BO=CO
∵AB=AC，∠ABO=∠ACO
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴∠AOB=∠AOC

在△BOF和△COF中
∴∠BOF=∠COF
∵BO=CO，OF=OF
∴△BOF≌△COF（SAS）
∴∠BFO=∠CFO=90°
∴AF⊥BC