Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD,CE分别是AC,AB边上的高，BD与CE交于点O，延长线AO交于BC于F 求证 AF⊥BC

Answer 1

证明
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDA＝∠CEA＝90
又∵∠BAD＝∠CAE（公共角）
AB＝AC（已知）
∴△ABD≌△ACE （AAS）
∴AD＝AE
∵AO＝AO（公共边）
∴△ADO≌△AEO （HL）
∴∠BAF＝∠CAF
∴AF是顶角∠BAC的角平分线
又∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴AF⊥BC（等腰三角形底边上三线合一）

Answer 2

证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDA＝∠CEA＝90
∵∠BAD＝∠CAE，AB＝AC
∴△ABD≌△ACE （AAS）
∴AD＝AE
∵AO＝AO
∴△ADO≌△AEO （HL）
∴∠BAF＝∠CAF
∵AF＝AF
∴△ABF≌△ACF （SAS）
∴∠AFB＝∠AFC
∵∠AFB+∠AFC＝180
∴∠AFB＝∠AFC＝90
∴AF⊥BC