Question

用二重积分证明圆锥体积公式，请高等数学高手指导，初学二重积分，把握不住要领，请仔细讲解 谢谢

Answer 1

二重积分的几何意义是以曲面为顶的曲顶柱体的体积，现在的曲顶是圆锥面，故求的是以圆锥面为曲顶的曲顶柱体的体积，其实圆锥体体积是以投影为底R为高的圆柱体体积SR减去求的2/3SR。

在-R到R上，球的上下两部分是对称的，所以t的范围应该是0到R，最后求得的积分结果乘以4

∫（dao0，π）da∫（0，R）根号下（R²-t²）×（-1/2）d（R²-t²）

=∫（0，π）da （-1/2）（2/3）（R²-t²）的3/2次方丨从0到R

=∫（0，π）1/3R的三次方da

=1/3πR的三次方

v=4×1/3πR的三次方=4/3πR的三次方

扩展资料：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

参考资料来源：百度百科-二重积分