Question

大一微积分题目，求高手解答，求具体过程! 设f（x）在R上连续，对任意的x∈R都满足f（2x）=f（x）e的x次方

证明f（2x）=f（0)e的x次方

Answer 1

f（2x）=f（x）e^x=[f（x/2）e^(x/2) ]e^x=[f（x/2^2）e^(x/2^2)e^(x/2) ]e^x=……=[f（x/2^n）]e^x(1/2^n+1/2^(n-1)+……+1/2+1)
=[f（x/2^n）]e^x(2-1/2^n)
令n趋近于无穷大，由连续性知f（2x）=f（0）e^（2x）即f（x）=f（0）e^（x）