【大一数学分析】求证广义罗尔微分中值定理

证明:设函数f(x)在(a,b)上可导,f(a+0)=f(b–0)=A,则存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0,其中a可以为–∞,b可以为+∞,A可为+∞或–∞.... 证明:设函数f(x)在(a,b)上可导,f(a+0)=f(b–0)=A,则存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0,其中a可以为–∞,b可以为+∞,A可为+∞或–∞. 展开
高启强聊情感
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2020-12-17 · 关注我不会让你失望
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证明:

(i)先设A有穷,

由f(a+0)=f(b–0)=A,

不失一般性,不妨设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A(f(c)>A情况相似),

若c为最小值,则由费马定理知f'(c)=0,原命题成立,

否则,c处不取最小值,则存在d使B=f(d)<f(c),

则由f(x)连续性(可导必连续)及介值定理

知(a,c),(c,b)内分别存在点x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=A-η属于(B,A),

则对区间(x1,x2)内的连续函数f应用“狭义”罗尔定理知存在ξ∈(x1,x2)包含于(a,b),使得f'(ξ)=0。

(ii)A为+∞或–∞时,可进行类似于(i)的讨论,

但需要注意的是,若A为+∞,则设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A,

而若A=-∞,则应设(a,b)内存在一点c使得f(c)>A。

扩展资料:

如果函数f(x)满足:

闭区间[a,b]上连续;

开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.

几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明:

弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的。

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证明:
(i)先设A有穷,
由f(a+0)=f(b–0)=A,
不失一般性,不妨设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A(f(c)>A情况相似),
若c为最小值,则由费马定理知f'(c)=0,原命题成立,
否则,c处不取最小值,则存在d使B=f(d)<f(c),
则由f(x)连续性(可导必连续)及介值定理,
知(a,c),(c,b)内分别存在点x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=A-η属于(B,A),
则对区间(x1,x2)内的连续函数f应用“狭义”罗尔定理知存在ξ∈(x1,x2)包含于(a,b),使得f'(ξ)=0。
(ii)A为+∞或–∞时,可进行类似于(i)的讨论,
但需要注意的是,若A为+∞,则设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A,
而若A=-∞,则应设(a,b)内存在一点c使得f(c)>A。

望采纳!以后有什么不懂的可以跟我说,我也是学数学的!
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证明:

(i)先设A有穷,

由f(a+0)=f(b–0)=A

不失一般性,不妨设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A(f(c)>A情况相似),

若c为最小值,则由费马定理知f'(c)=0,原命题成立,

否则,c处不取最小值,则存在d使B=f(d)<f(c),

则由f(x)连续性(可导必连续)及介值定理,

知(a,c),(c,b)内分别存在点x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=A-η属于(B,A),

则对区间(x1,x2)内的连续函数f应用“狭义”罗尔定理知存在ξ∈(x1,x2)包含于(a,b),使得f'(ξ)=0。

(ii)A为+∞或–∞时,可进行类似于(i)的讨论,

但需要注意的是,若A为+∞,则设(a,b)内存在一点c使得f(c)<A,

而若A=-∞,则应设(a,b)内存在一点c使得f(c)>A。

扩展资料:

如果函数f(x)满足:

在闭区间[a,b]上连续;

在开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.

几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明:

弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的。

参考资料来源:百度百科-微分中值定理

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渋渋不可负d94cc
2012-11-16 · TA获得超过3993个赞
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你自己造出来的定理吧,你也不看看要证明的结论是否正确

告诉你吧,这个根本不正确

给你举个最简单的例子:y=sinx在开区间(-派/2,派/2)上可导,在边界的单侧导数都为0,但在开区间内却没有一点使得其导数为0
追问
是a,b单侧极限都为A= =
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小煤球最美
2012-11-15 · TA获得超过120个赞
知道答主
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这最基本的定理,课本上应该有证明的撒,打这种符号最讨厌的说
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